How do you solve polynomials?

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Die in [1] vorgeschlagene Berechnung statischer Ausgangsrückkopplungsmatrizen wird anhand des in [2] diskutierten Beispiels eines umgekehrten Pendels veranschaulicht. Die theoretische Grundlage dieses Ansatzes wird in [3] dargelegt. Die aktuelle Implementierung basiert auf dem Gauß-Newton-Verfahren.

In [1] haben Campbell und Meyer einige Modifikationen der klassischen Drazin-Inversen definiert. Wir beschreiben die Berechnung einer bestimmten einfachen verallgemeinerten Inversen dieses Typs und nennen diese Matrix eine schwache Drazin-Inverse. Weitere Einzelheiten sind in [2, Abschnitt 3.1] zu finden. Diese schwache Drazin-Inverse kann verwendet werden, um eine verallgemeinerte Übertragungsfunktion für singuläre Deskriptorsysteme (d.h. für $\det(sE-A)\equiv0$) zu konstruieren, siehe [3].

Wir entwerfen einen Beobachter mit hoher Verstärkung für ein Input-Output linearisierbares System. Der hier verwendete Ansatz wird in [1,2] vorgestellt. Im Gegensatz zu dem in [3] vorgeschlagenen ähnlichen Ansatz verwenden wir eine Input-Output-Form und nicht die Byrnes-Isidori-Normalform. Dies vereinfacht die Berechnung der Beobachterverstärkung.

Der in [1] vorgeschlagene neue Beobachter erweitert die Ergebnisse zum erweiterten Luenberger-Beobachter [2,3] für ungleichmäßig beobachtbare Systeme. Das Beispiel des Synchronmotors wurde in [4] abgeleitet und in [5,6] verwendet.

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Das Problem der Lösung von Systemen multivariater Polynomgleichungen über endlichen Feldern ist ein klassisches und grundlegendes Problem der symbolischen Datenverarbeitung. Dieses Problem hat wichtige Anwendungen in zahlreichen Bereichen. In der Kryptographie beruht die Sicherheit von Kryptosystemen mit multivariaten öffentlichen Schlüsseln auf der Schwierigkeit, Systeme multivariater quadratischer Polynomgleichungen über endlichen Feldern zu lösen.

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Es wurden mehrere Algorithmen vorgeschlagen, um die Lösung(en) für Systeme multivariater Polynomgleichungen über endlichen Feldern zu finden. Im Jahr 2000 wurde der XL-Algorithmus als Werkzeug zur Lösung solcher Systeme eingeführt. Die Gesamtleistung von XL hängt davon ab, wie schnell eine Lösung gefunden werden kann. Aus praktischer Sicht ist die Laufzeit und der Speicherverbrauch von XL größer als der Verbrauch des F4-Algorithmus, des bekanntesten effizienten Algorithmus zur Lösung von Polynomgleichungssystemen. Das Hauptziel dieser Arbeit ist es, den XL-Algorithmus zu verbessern und die vorgeschlagenen Verbesserungen anhand von Anwendungen in der algebraischen Kryptoanalyse zu testen.

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{\displaystyle T_{P}F={\left({\frac {\partial F}{\partial X}}(P),{\frac {\partial F}{\partial Y}}(P)\right)}:T_{P}\mathbb {A} _{K}^{2}\cong \mathbb {A} _{K}^{2}\longrightarrow T_{F(P)}\mathbb {A} _{K}^{1}=T_{0}\mathbb {A} _{K}^{1}\cong \mathbb {A} _{K}^{1}{\text{ with }}(s,t)\longmapsto {\frac {\partial F}{\partial X}}(P)s+{\frac {\partial F}{\partial Y}}(P)t.}

Fact the irreducible components of the curve are disjoint. But then these are also the correlation components of the curve. So there is only one irreducible component and therefore the curve is irreducible.

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